Análisis de una ecuación cuadrática

ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Discriminante

La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, puede tener una, dos o ninguna solución. Depende del valor del Discriminante: Δ = b2 - 4ac.

Δ>0     Dos soluciones reales distintas.

Δ=0     Dos soluciones reales iguales. (Una solución.)

Δ<0     No hay solución real.


b2 -4ac>0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

 

b2-4ac=0 La ecuación tiene una solución doble.

 

b2-4ac<0 La ecuación no tiene soluciones reales

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON RAÍCES IMAGINARIAS

La ecuación x 2 = -4 es de segundo grado. Evidentemente no tiene raíces reales.
En el sistema de los números complejos esta ecuación si tiene solución. Es más cualquier ecuación cuadrática siempre tiene soluciones en los números complejos.

Para describir las soluciones complejas recuerde que un número complejo está definido como a+bi, con a y b números reales  i es la unidad imaginaria. a es llamada la parte real y b es la parte imaginaria.

a+bi es la representación del número en su forma binómica o estándar.

Tenga presente además
1) La segunda potencia de i

i2=−1

2) Considere p un número real positivo.
La raíz cuadrada principal de −p, √-p,

−p−−−√=p√iDefinición

−p−−−√=p√i

 

Las soluciones de las ecuaciones con la forma x2=−p, con p un número real positivo, son p√i y −p√i

Siguiendo los mismos pasos para obtener la fórmula cuadrática de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, en el caso b2−4ac>0 con a,b y c números reales, podemos llegar a la misma fórmula para el caso en que el discriminante, b2−4ac, sea un número negativo.

x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a

En el caso  b 2 −4ac<0 que se tiene dos raíces complejas.

SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES

Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 , estas cumplen las siguientes propiedades:


x1+x2=-b/a                                         x1.x2=c/a


Observa que la segunda ecuación de segundo grado se pueda escribir en función de la suma s y el producto p de las raíces.

Ejercicio 1: Determinar el valor de la suma y productos de raices.

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales, y a es un número diferente de cero.

Ejemplo:

 

8x² + 3x + 1         a = 8, b = 3, c = 1

7x²  - 2x               a = 7, b = -2, c = 0

-9x ² + 11            a = -9, b = 0, c = 11

 Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:  

 Solución por factorización.

 

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplo:

 (x+5)(x-2)=0

Lo primero es igualar la ecuación a cero, pero en este caso la ecuación ya no es necesaria igualarla.

Multiplicamos los binomios:

X²-2x+5x-10=0

X²+3x-10=0

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(x+5)(x-2)=0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

          1. x+5=0

                  x=-5  

           2. x-2=0

                   x=2 

NOTA: En todos los casos la solución por factorización es la misma. 

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación  x² + 3x − 10 = 0

Vemos claramente que a = 1,     b = 3   y     c = −10, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

Así es que las soluciones son x= 2 y x= -5.

 

GRÁFICA

 Fuente: Matemáticas y listo.

 Link: http://matematicaylisto.webcindario.com/respuestas/cuadrati2.htm