Bibliografía

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Escriba la ecuación si las raíces son  3 y -2.

2. Determine los elementos y grafique la siguiente ecuación cuadrática 2X² -7 + 3

3.Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5 halle la longitud de cada lado sabiendo que el área es de 24m.

3. Dentro de 11 años la edad de Carlos será la mitad del cuadrado que tenía  hace 13 años ¿Cuál es la edad de Carlos?

4. Resolución de un Sistema de Ecuaciones Cuadráticas por el método de sustitución.

PRESENTACIÓN

Somos un grupo de estudiantes que pertenecen al Área de Educación Comercial y Administración del Curso de Nivelación de Carrera de la Universidad Nacional de Loja, 

nuestro objetivo con la creación de este blog es transmitir los conocimientos que hemos adquirido en el transcurso de este periodo acerca de ecuaciones cuadráticas con la finalidad de que sea de gran ayuda para los visitantes.

SISTEMA DE ECUACIÓN CUADRÁTICA

Definición:

Se llaman sistemas de ecuaciones cuadráticas, al sistema cuyo grado (mayor exponente al que se encuentra elevada alguna incógnita del sistema) sea de dos. Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llama también sistema de ecuaciones cuadráticas.


Ejemplo:

3x2-2x +3y=y - 1

2y-3y2 =3x+4

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor

exponente es 2 (la x e y al cuadrado).

Resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas

Métodos de solución
 
Para resolver un sistema de ecuaciones existe el siguiente método :

Método de sustitución
 
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de primer
grado.

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante.

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los

valores correspondientes de la otra incógnita.

Ejemplo :

Apliquemos lo antes mencionado a un ejemplo concreto

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x2 + ( 7 - x )2 = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante. (En el lado derecho se muestran los cálculos auxiliares).

x2+ 49 - 14x + x2 = 25                                    Resolvemos ( 7 - x )2 = (7-x ).( 7- x )

2x2 - 14x + 24 = 0                                            Agrupamos los términos semejantes

x2 - 7x + 12 = 0                                                 Dividimos todos los términos por 2

Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida, para ello se aplica la fórmula general:

x = 7 ± √49 - 48 /2

x= 7±1/2

x1=4

X2=3

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

Recuerda que en el el paso 1 hallamos que y = 7 − x

x = 3                   y = 7 − 3                       y = 4
x = 4                   y = 7 − 4                       y = 3

OBJETIVOS

Objetivo General

• Dar a conocer los aprendizajes adquiridos sobre las ecuaciones cuadráticas. Manifestado a su vez los distintos métodos para su resolución mediante un intenso análisis del mismo.

Objetivos Específicos

• Llegar a los visitantes del blog de una manera entendible y específica en cada uno de los temas a tratar.
• Determinar el grado de conocimiento que obtuvo cada visitante. 

INTRODUCCIÓN

 Las ecuaciones cuadráticas siempre han sido un tema muy importante en las matemáticas y en el álgebra ya que se utiliza casi para todo, incluso hasta en la vida diaria, por lo cual es muy importante que se tenga un buen dominio de estas.

Esperamos que los temas tratados en esta investigación sean claros y fáciles de entender, para poder apoyarse para el estudio o dudas que se tenga acerca de este tema o simplemente para recordar los temas ya vistos.

Análisis de una ecuación cuadrática

ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Discriminante

La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, puede tener una, dos o ninguna solución. Depende del valor del Discriminante: Δ = b2 - 4ac.

Δ>0     Dos soluciones reales distintas.

Δ=0     Dos soluciones reales iguales. (Una solución.)

Δ<0     No hay solución real.


b2 -4ac>0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

 

b2-4ac=0 La ecuación tiene una solución doble.

 

b2-4ac<0 La ecuación no tiene soluciones reales

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON RAÍCES IMAGINARIAS

La ecuación x 2 = -4 es de segundo grado. Evidentemente no tiene raíces reales.
En el sistema de los números complejos esta ecuación si tiene solución. Es más cualquier ecuación cuadrática siempre tiene soluciones en los números complejos.

Para describir las soluciones complejas recuerde que un número complejo está definido como a+bi, con a y b números reales  i es la unidad imaginaria. a es llamada la parte real y b es la parte imaginaria.

a+bi es la representación del número en su forma binómica o estándar.

Tenga presente además
1) La segunda potencia de i

i2=−1

2) Considere p un número real positivo.
La raíz cuadrada principal de −p, √-p,

−p−−−√=p√iDefinición

−p−−−√=p√i

 

Las soluciones de las ecuaciones con la forma x2=−p, con p un número real positivo, son p√i y −p√i

Siguiendo los mismos pasos para obtener la fórmula cuadrática de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, en el caso b2−4ac>0 con a,b y c números reales, podemos llegar a la misma fórmula para el caso en que el discriminante, b2−4ac, sea un número negativo.

x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a

En el caso  b 2 −4ac<0 que se tiene dos raíces complejas.

SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES

Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 , estas cumplen las siguientes propiedades:


x1+x2=-b/a                                         x1.x2=c/a


Observa que la segunda ecuación de segundo grado se pueda escribir en función de la suma s y el producto p de las raíces.

Ejercicio 1: Determinar el valor de la suma y productos de raices.

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales, y a es un número diferente de cero.

Ejemplo:

 

8x² + 3x + 1         a = 8, b = 3, c = 1

7x²  - 2x               a = 7, b = -2, c = 0

-9x ² + 11            a = -9, b = 0, c = 11

 Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:  

 Solución por factorización.

 

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplo:

 (x+5)(x-2)=0

Lo primero es igualar la ecuación a cero, pero en este caso la ecuación ya no es necesaria igualarla.

Multiplicamos los binomios:

X²-2x+5x-10=0

X²+3x-10=0

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(x+5)(x-2)=0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

          1. x+5=0

                  x=-5  

           2. x-2=0

                   x=2 

NOTA: En todos los casos la solución por factorización es la misma. 

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación  x² + 3x − 10 = 0

Vemos claramente que a = 1,     b = 3   y     c = −10, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

Así es que las soluciones son x= 2 y x= -5.

 

GRÁFICA

 Fuente: Matemáticas y listo.

 Link: http://matematicaylisto.webcindario.com/respuestas/cuadrati2.htm